Was passiert mit dem Wasserstand, wenn ein Stein über Bord fällt?

Rhett Allain

Physikfragen machen am meisten Spaß, wenn sich die Leute nicht sofort auf die Antwort einigen können. Was sich intuitiv oder offensichtlich anfühlt – ist es manchmal nicht. Wir können stundenlang unterhaltend über die Lösung streiten und am Ende vielleicht sogar etwas lernen.

Hier ist eine dieser scheinbar offensichtlichen Fragen, die es schon seit langem gibt: Angenommen, ein großer Stein befindet sich auf einem Boot, das in einem sehr kleinen Teich schwimmt. Wenn der Stein über Bord geworfen wird, steigt, sinkt oder bleibt der Wasserspiegel des Teiches unverändert?

Diskutieren Sie darüber mit Ihren Freunden und Ihrer Familie. Während Sie sie davon überzeugen, dass Ihre Antwort richtig ist, ist hier ein Bild meines Bootes mit einem Stein darin:

OK, es ist eigentlich kein Boot, es ist Teil einer Plastikflasche. Außerdem ist der „Stein“ ein Bleigewicht und der „Teich“ ein Becher. Aber so können wir sehen, was mit dem Wasserstand passiert, wenn wir einen Gegenstand hineinwerfen.

Wenn ein Boot auf dem Wasser schwimmt, wirken zwei Kräfte auf es. Erstens gibt es die nach unten ziehende Gravitationskraft, die gleich der Masse des Bootes und allem darauf (m) mal dem Gravitationsfeld (g = 9,8 Newton pro Kilogramm) ist. Wir nennen dieses Produkt oft das „Gewicht“.

Die andere Kraft ist die nach oben drängende Auftriebswechselwirkung mit dem Wasser. Über diese Auftriebskraft sind zwei Dinge wahr. Erstens: Wenn das Boot schwimmt, muss der Auftrieb nach oben gleich dem Gewicht des Bootes sein. Zweitens ist die Auftriebskraft gleich dem Gewicht des vom Boot verdrängten Wassers.

Wir können diese Auftriebskraft berechnen, indem wir das Volumen des verdrängten Wassers (Vd) nehmen und die Dichte des Wassers (ρw) zusammen mit dem Gravitationsfeld (g) verwenden.

Joseph Winters

David Nield

Adrienne So

Andrew Couts

Damit können wir unser kleines Boot in einem winzigen Teich betrachten. Um die Sache so einfach wie möglich zu machen, gehen wir davon aus, dass das Boot masselose Wände hat – was keine verrückte Näherung ist, da mein Boot in Wirklichkeit eine Plastikflasche ist. Das heißt, das einzige Gewicht ist der Stein. (Keine Sorge, ich werde später ein realistischeres Beispiel machen.) Hier ist ein Kraftdiagramm:

Da die Auftriebskraft (FB = ρw × Vd × g) gleich dem Gewicht des Gesteins (mr × g) ist, können wir einen Ausdruck für das Volumen des verdrängten Wassers (Vd) finden:

Joseph Winters

David Nield

Adrienne So

Andrew Couts

Wir benötigen dieses Volumen, da um diesen Betrag der Wasserspiegel im „Teich“ ansteigt, wenn das Boot hinzugefügt wird. Es ist buchstäblich die Definition von verdrängtem Wasser.

Lassen Sie uns nun den Stein ins Wasser fallen. Das Boot spielt keine Rolle mehr und verdrängt kein Wasser, da es keine Masse hat. Hier ist das Kraftdiagramm nur für den Stein:

Da dieser Felsen viel kleiner ist als das Boot, verdrängt er weniger Wasser als auf dem schwimmenden Boot. Das bedeutet, dass auch die nach oben drängende Auftriebskraft geringer ist – und nun nicht mehr groß genug ist, um die nach unten gerichtete Gravitationskraft auszugleichen. Stattdessen ruht der Stein auf dem Boden des Teichs (oder Bechers), was eine zusätzliche nach oben gerichtete Kraft (Ff) erzeugt.

Bei geringerer Auftriebskraft wird weniger Wasser verdrängt. Das heißt, es ist an der Zeit, die Antwort auf unsere Frage zu verraten: Der Wasserstand wird sinken!

Bist du überrascht? Die Leute denken oft, dass die Antwort darin besteht, dass der Wasserspiegel steigt, weil das Gestein Wasser verdrängt und den Wasserspiegel nach oben drückt – aber sie liegen falsch, und das ist in Ordnung. Wir stützen uns bei Antworten oft auf unsere früheren Lebenserfahrungen, und Sie haben wahrscheinlich schon einmal Murmeln in ein Glas Wasser gegeben, um den Füllstand zu erhöhen. Man kann durchaus davon ausgehen, dass in diesem Fall dasselbe passieren wird.

Aber das Hinzufügen von Murmeln zu einem Glas unterscheidet sich von unserem Bootsszenario. Da die Murmeln nicht in einem Boot schwimmen, befinden sie sich überhaupt nicht im Wasser. Sie befinden sich wahrscheinlich in Ihrer Tasche oder so ähnlich – und das Herausnehmen einer Murmel aus Ihrer Tasche hat keinen Einfluss auf den Wasserstand. Wenn Sie die Murmel in das Glas werfen, kann das Wasser nur nach oben fließen und der Wasserspiegel steigt. Dies ist dasselbe, was passieren würde, wenn Sie am Ufer stehen und einen Stein in einen Teich werfen würden.

Joseph Winters

David Nield

Adrienne So

Andrew Couts

Andererseits verdrängt ein Stein auf einem Boot das Wasser bereits, bevor es hineinfällt. Deshalb sind die beiden Fälle unterschiedlich, und das macht diese Frage zu einer unterhaltsamen physikalischen Frage.

Hier ist ein aktuelles Bild mit meinem Becherteich und dem Plastikflaschenboot:

Wir können sogar einen Ausdruck dafür erhalten, um wie viel der Wasserspiegel gesunken ist. Denken Sie daran, dass wir bereits das durch die Kombination von Felsen und Boot verdrängte Volumen berechnet haben. Nennen wir das V1 für das ursprünglich verdrängte Wasservolumen. Wenn sich nun der Stein am Boden befindet, wird er nur um einen Betrag verdrängt, der dem Volumen des eigentlichen Steins entspricht. Angenommen, dieses Gestein hat eine Dichte von ρr. Dann wird ein Volumen V2 verdrängt:

Joseph Winters

David Nield

Adrienne So

Andrew Couts

Daraus ergibt sich ein Volumenunterschied bzw. das Volumen des Wassertropfens im Teich:

Lassen Sie uns zum Spaß die Werte meiner kleinen experimentellen Version dieses Bootes und Felsens eingeben. In diesem Fall handelt es sich bei dem Stein tatsächlich um ein Bleigewicht mit einer Masse von 130 Gramm. Die Dichte von Wasser beträgt 1 Gramm pro Kubikzentimeter (g/cm3) und die Dichte von Blei beträgt 11,3 g/cm3. Setzt man diese Werte ein, ergibt sich ein Wasserspiegelabfall von 118 cm3.

Betrachtet man die Messwerte auf dem Becherglas, beträgt die Wassermenge bei der Masse im Boot 670 Milliliter (das sind 670 cm3). Wenn die Masse ins Wasser gegeben wird, sinkt sie bei einer Veränderung von 110 ml auf 560 ml. Das kommt meiner Berechnung ziemlich nahe. Hübsch.

Okay, gut, lassen Sie uns die Berechnung für den realen Fall durchführen. Stellen wir uns vor, ich hätte ein kleines Boot mit einer Masse von 100 Kilogramm (mb). Das Boot befördert eine Person mit einer Masse von 70 kg (mp) plus einen 50 kg schweren Stein (mr). Der Teich ist ein perfekt zylindrisches Becken mit einem Radius von 3 Metern und einer Tiefe von 2 Metern.

Zuerst muss ich das verdrängte Wasservolumen berechnen, wenn sich der Stein im Boot befindet. Die nach unten gerichtete Gravitationskraft (die der Auftriebskraft entspricht) wäre gleich dem Gravitationsfeld multipliziert mit der Summe der Massen (Boot plus Person plus Stein). Damit können wir V1 finden:

Joseph Winters

David Nield

Adrienne So

Andrew Couts

Wenn die Person den Stein über Bord wirft, müssen wir zwei Bände berücksichtigen. Es gibt das vom Boot plus der Person verdrängte Volumen und dann das vom Gestein am Boden verdrängte Volumen, das von der Dichte des Gesteins abhängt.

Wenn wir die Differenz dieser beiden Volumina bilden, entfällt der Teil mit der Bootsmasse.

Sehen Sie, ich habe Ihnen gesagt, dass es in Ordnung ist, ein masseloses Boot zu benutzen! Solange der Stein dichter als das Wasser ist (was bedeutet, dass er sinkt), ist der Ausdruck auf der rechten Seite negativ und der Wasserstand sinkt, wenn wir den Stein aus dem Boot werfen.

Wenn ich unsere tatsächlichen Werte für die Massen eingebe und eine Gesteinsdichte von 4 g/cm3 verwende, erhalte ich einen Volumenabfall von 0,03 Kubikmetern. Wenn unser zylindrischer Teich einen Radius von 3 Metern hat, sinkt der Wasserspiegel um 1 Millimeter. Ja, das ist ein winziger Volumenverlust für unseren winzigen Teich. Aber es ist immer noch ein Absinken des Wasserspiegels – und es wird immer eine lustige physikalische Aufgabe bleiben.